1 前言
随着科技的发展，人们生活水平的提高，对“质量”将会更加的关注，特别是关于国计民生工程。众所周知，在制造行业中，要想获得百分百的质量肯定，最可靠的办法是百分百检验，而百分百的检验会给质量检验机构增加无尽的负担，给生产带来无限期的延迟。本文阐述的是，在铝材制造过程中常见的问题分析方法。铝材的硬度是否和抗拉强度存在一定的线性？是否能建立回归方程辅助车间质量检测员方便快捷的判别产品是否合格？这样的线性与回归是不是能在生产过程中得以验证？我们带着这些问题以6061-T6铝板为例，一起去探究。现将项目内容简介如下：
2 试验部分
2.1 试验准备
2.1.1 在挤压车间日常生产的6061-T6铝板中随机抽取25天试验样本，铝板中含有1-7mm不同厚度。
2.1.2 硬度试验参照YS/T 420-2000方法操作，抗拉强度采用万能微机控制电子万能试验仪测量，试验方法按GB/T 228-2002中规定进行。
2.2 试验操作
2.2.1 硬度测试试验
2.2.1.1 试样的厚度为1-7mm，试样的表面应光滑，洁净，不应有机械损伤，试样边缘不应有毛刺，如试验有轻微的擦划应轻轻的磨光，试样的最小尺寸约为25mm×25mm，并保证测量时压痕到边缘的距离不小于3mm。
2.2.1.2 将试验置于砧座和压针之间，压针应与试验面垂直，轻轻压下手柄，使压针压住试样。快速的压下手柄，施加足够的力，使压针套筒的断面紧压在试样上，在表头读出硬度值。每个试验测量5点，以算术平均值作为试样的硬度值，并且记录。
2.2.2 力学性能试验
2.2.2.1 本次力学性能测试试样采用GB/T 228-2002 中规定的P5试样(矩形横截面非比例试样)。
2.2.2.2 将试样置于万能材料试验机的夹具中，运行仪器，以10mm/min的速度进行拉伸试验，通过电脑自动将所加载的载荷和相应位移记录下来，直到最大载荷的出现。试样完成后，将抗拉强度值记录下来。
2.3 试验结果
本次试验我们针对不同厚度的6061-T6铝板进行了抗拉强度，硬度测试，试验结果如下：
2.4.1 相关分析
相关系数r(通常是指Pearson相关系数)，是用来描述两个变量线性相关程度的一种度量。若x与y无关时，相关系数r应该为0。一般来说，样本量超过9时，只要相关系数的绝对值达到0.7，那么认为两变量间确实相关的，当样本量超过25时，只要相关系数绝对值达到0.4，那么就应当认定两变量确实是相关的。
2.4.1.1 由于样本较大，我们采用计算机辅助计算。用MINITAB软件从STAT-Basic Statistics-Correlation入口，直接得到下面结果：
相关: 硬度, 抗拉强度
硬度和抗拉强度的Pearson相关系数 = 0.806
P值 = 0.000
2.4.1.2 因为相关系数为0.806，由此确定硬度与抗拉强度确实存在着线性关系。从样本中看出，所取的样本是从1-7mm的铝板，如果把样本分为两组1-3mm、3-7mm分别分析它们的相关系数：
相关(0-3mm): 硬度, 抗拉强度
硬度和抗拉强度的Pearson相关系数 = 0.823
P值 = 0.000
相关(3～7mm): 硬度, 抗拉强度
硬度 和 抗拉强度 的 Pearson 相关系数 = 0.824
P值 = 0.000
2.4.1.2 从上述分析中看出，把样本分组得到的相关系数r要大，说明分组后线性相关越强，后续分析的一元线性回归模型将作分组分析。
2.4.2 一元线性回归模型
假定(x，y)的散点图显示有线性关系，则可以认为观测值由两部分迭加而成：一是y的平均值随x的变化而呈线性关变化的趋势，用b0+b1x表示；而是其他随机因素影响到y值本身会偏离平均值，其误差用ε表示，常设ε~N（0，σ2），固有如有的数据结构式：yi=b0+b1xi+εi，i=1,2，...n，用求导函数的方法得回归系数的最小二乘估计：
，
2.4.2.1 建立回归方程(利用MINITAB应用软件，由STAT-Regresstion-FittdLine-Plot入口)
2.4.2.1.1 1～3mm铝板的回归方程分析
回归分析(1～3mm): 抗拉强度 与 硬度
回归方程为
抗拉强度 = - 130 + 26.0 硬度
系数标
自变量 系数 准误 T P
常量 -129.84 65.66 -1.98 0.061
硬度 26.045 3.926 6.63 0.000
S = 11.0001 R-Sq = 67.7% R-Sq（调整） = 66.2%
2.4.2.2 3～7mm铝板的回归方程分析
回归分析(3-7mm): 抗拉强度 与 硬度
回归方程为
抗拉强度 = - 21.5 + 19.9 硬度
系数标
自变量 系数 准误 T P
常量 -21.50 32.77 -0.66 0.515
硬度 19.936 1.996 9.99 0.000
S = 14.2201 R-Sq = 68.0% R-Sq（调整） = 67.3%
2.4.3 回归方程的显著性检验
我们建立回归方程的目的是去表达两个具有线性相关的变量间的定量关系，因此，只有当两个变量确实具有线性相关关系时建立的回归方程才是有意义的。两变量间是否存在线性相关关系，有两种检验方法：一是上述已经分析的相关系数法，而另外一种是方差分析法。
2.4.3.1 1～3mm铝板的回归方程显著性检验
方差分析
来源 自由度 SS MS F P
回归 1 5325.1 5325.1 44.01 0.000
残差误差 21 2541.0 121.0
合计 22 7866.1
经过分析p-value值为0.000,比0.001还小，故认为回归方程是有意义的。
2.4.3.2 3～7mm铝板的回归方程显著性检验
方差分析
来源 自由度 SS MS F P
回归 1 20176 20176 99.78 0.000
残差误差 47 9504 202
合计 48 29680
经过分析p-value值为0.000,比0.001还小，故认为回归方程是有意义的。
2.4.4 利用回归方程作预测
当求得一个有意义的回归方程后，可以将此回归方程进行预测。如果给定x的值为x0，那么y的预测值为：
,y的概率为1-a的预测区间：
, σ的精确表达式：
(利用MINITAB应用软件: STAT-Regresstion-FittdLine-Plot入口)
2.4.4.1 1～3mm铝板的回归方程的预测区间：(由于数据较多，先只列出几个抗拉强度值的预测区间)
新观测值的预测值
新观 拟合值
测值 拟合值 标准误 95% 置信区间 95% 预测区间
1 286.88 3.62 (279.35, 294.42) (262.80, 310.97)
3 307.72 2.32 (302.90, 312.54) (284.34, 331.10)
5 299.91 2.44 (294.83, 304.99) (276.47, 323.34)
2.4.4.1 3～7mm铝板的回归方程的预测区间：(由于数据较多，先只列出几个抗拉强度值的预测区间)
新观测值的预测值
新观 拟合值
测值 拟合值 标准误 95% 置信区间 95% 预测区间
1 303.46 2.04 (299.36, 307.56) (274.56, 332.36)
2 317.42 2.37 (312.65, 322.19) (288.41, 346.42)
3 297.48 2.17 (293.11, 301.85) (268.54, 326.42)
2.4.5 残差分析：证实模型假定
使用回归方程的上述统计检验可以获得有关X和Y的丰富信息，但仍然不能确定设定的回顾模型是否与数据拟合得很好。为了确认拟合效果，必须采用残差分析方法来进行诊断。定义在 处的残差 是因变量的观测值( )与因变量的估计值 之差，即： = — ，换言之， 处的残差是利用估计的回归方程去预测 而引起的误差。
2.4.5.1 1～3mm铝板的回归方程的残差分析（见下表）
2.4.5.1.1 残差图的正态性检验。从下图（图1左上图）可以看出，10个样本点呈直线状，没有发现任何不正常之处。
2.4.5.1.2 关于因变量的预测值的残差图（图1右上图）。这种残差图是在水平轴上表示因变量的预测值和在纵轴上表示残差值。如果在图中有明显的“喇叭口”形状，即表明残差的标准差不是常数，而是在随预测值的变化。在本图中没有发现任何不正常之处。
2.4.5.1.3 关于按观测顺序的残差图（图1右下图）。关于按观测顺序的残差图是用水平轴表示观测顺序，用纵轴表示对应的残差值。这些残差点应在横轴（即残差为0）上下随机波动，不应有任何上升，下降，摆动，跳跃等趋势。如果有某种趋势存在，则说明数据观测过程中受到某个某个未知的因素的强大的影响，应该找出此因素并加以控制。在本图中没有发现任何不正常之处。
2.4.5.1.4 关于自变量X的值的残差图（图2）。在分析过程中此图没有任何不正常之处。
2.4.5.1.5 残差图并没有提供足够的证据，使我们对回归模型所的假定表示怀疑。这将导致我们在最后能够确信，[抗拉强度 = - 130 + 26.0 硬度]简单线性回归模型是合理的。
图1
图2
2.4.5.2 3～7mm铝板的回归方程的残差分析。按照2.4.5.1.1-2.4.5.1.4的步骤分析，确定[抗拉强度 = - 21.5 + 19.9 硬度] 简单线性回归模型是合理的。
3 结论
3.1 此次试验简述怎么运用了线性分析与回归分析方法对生产过程中的自变量与因变量进行分析，通过回归方程预测，初步确定产品的质量水平，建议广大读者在生产过程中大力推广。
3.2 本文得出的回归方程为：
3.2.1 1～3mm铝板抗拉强度与硬度的回归方程：Rm = - 130 + 26.0×Hw,其中Rm为抗拉强度，Hw为硬度。
3.2.2 3～7mm铝板抗拉强度与硬度的回归方程：Rm = - 21.5 + 19.9×Hw，其中Rm为抗拉强度，Hw为硬度。
3.3 本文得出的方程只能为本企业内部使用控制，如果在更换原材料，改变6061合金成份以及改变生产工艺等条件下，必须重新再做分析，以前的结论作废。
